線形代数の定理

数学

量子情報の教科書

Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge Series on Information and the Natural Sciences)

Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge Series on Information and the Natural Sciences)

を読んでいたら、「フォンノイマン・エントロピーの連続性」という囲み記事内に、面白いことが書いてあった。


半正値演算子A,B,Cに対して、C=A+Bが成立するとする。
そのとき、Cの固有値を大きい順にc_1,c_2,\cdots、Aの固有値を大きい順にa_1,a_2,\cdotsとする。
このとき、c_j \geq a_j(for all j)

つまり、大きい順に並べた固有値の、何番目同士を比較しても、必ずCのほうが大きいというのだ。


え？直観的には全然自明じゃないよね・・・と思ってよく見ると、全ての計算は\sum {}_jの中で行われている（それだったらA+B=Cの両辺traceとればすぐに示せる）。それまでにもこの教科書には、「定理の内容はあってるけど、この方法では導出できない」という議論がたまに見られたので、これもその類だろう、と思ったのですが、Ｎ君が「反例を探したけど見つからなかった」と主張しました。


このことを友人に談話室で話したところ、Ｏ君が証明を見つけてくれたので、Ｅ君の要望などもあったのでここに紹介しておきます。


（Ｏ君による証明）
＜j=2のとき＞
説明の簡単のため、まずはj=2のケースを説明する。後述のように、任意のjに拡張できる。


背理法で示す。題意c_2 \geq a_2が成り立たないとすると、a_1 \geq a_2 > c_2となる。（右辺の不等式のみ等号を含まないことが重要）
ここで、a_1とa_2の固有状態の任意の線形結合で表される状態を|x\rangleとする：
|x\rangle \equiv p_1 |\phi_1 \rangle + p_2 |\phi_2 \rangle　　（|p_1|^2+|p_2|^2=1）

そのとき、
\langle x | C | x \rangle \geq \langle x | A | x \rangle
= |p_1|^2 \langle \phi_1 | A | \phi _1 \rangle + |p_2|^2 \langle \phi_2 | A | \phi _2 \rangle + p_1 ^* p_2 \langle \phi _1 | A | \phi _2 \rangle + c.c. = a_1|p_1|^2 + a_2|p_2|^2 > c_2
となる*1。

この|x\rangleを今度はCの固有ベクトルで展開する：
| x \rangle \equiv \sum \lambda _j | \psi_j \rangle　（\sum |\lambda _j|^2 =1）
すると、
\langle x | C | x \rangle = ( \sum _i \lambda _i ^* \langle \psi_i |) C ( \sum _j \lambda _j | \psi_j \rangle ) = \sum_j c_j |\lambda _j |^2 > c_2
となる。最後の不等号は、ひとつ前の議論の結果である。さらに\sum |\lambda _j|^2 =1に注意すると
(c_1-c_2)|\lambda_1|^2+(c_3-c_2)|\lambda_3|^2+(c_4-c_2)|\lambda_4|^2+\cdots >0
が成り立たなければならない。
しかし、もとの |x\rangle \equiv p_1 |\phi_1 \rangle + p_2 |\phi_2 \rangleにおいて、
p_1 = \langle \psi_1 | \phi_2 \rangle /Z、p_2 = -\langle \psi_1 | \phi_1 \rangle /Z　（Zは規格化因子を表す：Z\equiv \sqrt{ | \langle \psi_1 | \phi_2 \rangle |^2 + | \langle \psi_1 | \phi_1 \rangle |^2 }）
のように選ぶと、
\lambda_1 = \langle \psi _1 | x \rangle = p_1 \langle \psi_1 | \phi _1 \rangle + p_2 \langle \psi_1 | \phi _2 \rangle = 0となるため、第1項がゼロになり、（第2項以下は全て0以下だから）この不等式は満たされず矛盾。　（証明終）


＜j\neq 2のとき＞
a_1\geq a_2 \geq \cdots \geq a_j > c_jと仮定すると、上と同様の議論で\sum_i c_i |\lambda _i |^2 > c_jが導かれる。
そして、 | x \rangle \equiv \sum _k ^j p_k | \phi _k \rangleの係数の組\{p_1,p_2,\cdots ,p_j \}として
\lambda _1 \equiv p_1 \langle \psi_1 | \phi_1 \rangle + p_2 \langle \psi_1 | \phi_2 \rangle + \cdots + p_j \langle \psi_1 | \phi_j \rangle = 0
\lambda _2 \equiv p_1 \langle \psi_2 | \phi_1 \rangle + p_2 \langle \psi_2 | \phi_2 \rangle + \cdots + p_j \langle \psi_2 | \phi_j \rangle = 0
・・・
\lambda _{j-1} \equiv p_1 \langle \psi_{j-1} | \phi_1 \rangle + p_2 \langle \psi_{j-1} | \phi_2 \rangle + \cdots + p_j \langle \psi_{j-1} | \phi_j \rangle = 0
を満たすものが必ず存在する*2 *3ので、背理法によって、全てのjに対してc_j \geq a_jが成立することが導けた。　（証明終）

*1:c.c.は直前の項の複素共役を表す。ここで、|\phi _1 \rangle と|\phi _2 \rangle がAの（規格直交した）固有ベクトルであることと、仮定a_1> c_2、a_2 > c_2を用いた。

*2:j次元空間で、(j-1)個のベクトル{}^T (\langle \psi_1 | \phi_1 \rangle , \langle \psi_1 | \phi_2 \rangle , \cdots , \langle \psi_1 | \phi_2 \rangle ), {}^T (\langle \psi_2 | \phi_1 \rangle , \langle \psi_2 | \phi_2 \rangle , \cdots , \langle \psi_2 | \phi_2 \rangle ), \cdots , {}^T (\langle \psi_{j-1} | \phi_1 \rangle , \langle \psi_{j-1} | \phi_2 \rangle , \cdots , \langle \psi_{j-1} | \phi_2 \rangle ) のいずれとも直交する規格化したベクトルを必ず選ぶことができるので、それを{}^T (p_1,p_2,\cdots ,p_j )にすればよい。 （{}^Tは転置を表す）

*3:j=1の場合は係数の選び方を考えるまでもなく、不等式が不成立である。