しばらく更新が滞ったので - フタパラ　オルタナティブ

最近話のネタがないので、短いけど物理ネタ。

単純な問題設定だけど、10分以上真剣に考えてしまいました。

交換関係 $[\hat{x},\hat{p}] = i \hbar$ の両辺に、左から位置固有状態 $\langle x|$ 、右から $|x'\rangle$ をかけると、 $\langle x| (\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x} ) |x'\rangle = i \hbar \langle x | x' \rangle$
⇔ $\langle x| (x\hat{p}-\hat{p}x' ) |x'\rangle = i\hbar \delta (x-x')$
⇔ $x\langle x| \hat{p}|x'\rangle - x' \langle x| \hat{p}|x'\rangle = i\hbar \delta (x-x')$
⇔ $(x-x')\langle x| \hat{p}|x'\rangle = i\hbar \delta (x-x')$

となり、左辺は $x' \rightarrow x$ でゼロに近づき、右辺は $x' \rightarrow x$ で発散するようにみえる。

上記の変形のどこが間違っているか、結構悩んでしまいました…。僕なりの答えは、この下の部分に反転文字で書いてあります↓

答え：
式変形は全て正しいが、左辺は x' → x でゼロに近づかないと思います。
それを確かめたかったのですが、普通の方法で < x | p^ | x' > を計算する手段が思いつきませんでした。
（例えば | x'' > で座標表示して、
∫x'' δ( x - x'' ) ( - i \hbar ∂/∂x'' ) δ( x' - x'' ) としても、デルタ関数の微分が単純には定義できない）

x と p の交換関係の両辺トレースをとって、有限次元で通用するトレースの性質を使うと、∞ = 0 という矛盾が導けるので、それと同様の議論かなぁ、とか間違った方向に色々考えこんで、無駄に時間を費やしてしまいました…(´・ω・｀)