量子状態の近さの尺度 - フタパラ　オルタナティブ

量子情報で、混合状態同士の近さを表す指標として、"trace distance"と"fidelity"がよく使われる。

trace distance : $D_1 = \frac{1}{2}tr|\rho - \sigma |$

fidelity: $D_2 = tr\sqrt{ \sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} }$

一方の尺度で状態の近さを計算したら、他方の尺度での状態の近さについても上限と下限が分かるので、実質的にはどちらを使っても似たような情報を得られる。
trace distance のほうが、古典情報学での「似たようなデータ系列」という意味を反映していて直観的なのに対し、fidelity のほうが

（特に一方が純粋状態の場合に）式が簡単で、計算しやすい
（特に実験を行うときに）求めるべき行列要素の数が少なくて良い

という実用的なメリットがあるらしい。

それはそうと、任意の演算子同士に対して定義できる内積のひとつに、"Hilbert-Schmidt inner product"がありますよね。

Hilbert-Schmidt inner product : $(A,B) =$ tr $(A^\dagger B)$

内積を用いれば自然に距離が誘導されるから、次のように距離を定義することも可能なはずです*1。

Hilbert-Schmidt norm : $D_3 =$ tr $[ (\rho - \sigma )^2]$

そこで僕の疑問。

なぜ $D_3$ は距離の指標として用いられないのだろう。 $D_3$ だって距離の公理を満たしているわけだから、

$D_3 =0$ if and only if $\rho = \sigma$

という性質は満たしているはずなのに・・・。

ちょっと考えてみたら、以下のような反例を見つけました。

系の次元を $2d$ （ $d$ は自然数）とし、

$\rho = \frac{1}{d}(|1\rangle\langle 1| + |2\rangle\langle 2| + \cdots + |d\rangle\langle d| )$
$\sigma = \frac{1}{d}(|d+1\rangle\langle d+1| + |d+2\rangle\langle d+2| + \cdots + |2d\rangle\langle 2d| )$

とすると、 $\rho$ と $\sigma$ は台(support)が直交しているので、確率１で（決定論的に）区別できるはずです。

この状態に対して、trace distance と Hilbert-Schmidt norm を計算してみる。
trace distance は $D_1 = 1$ （trace distance の上限）となるので、「確率１で区別できる」という結果を正しく与えるのに対して、
Hilbert-Schmidt norm は $D_3 = \frac{2}{d}$ となってしまい、結果が系の次元に依存してしまう。例えば、 $d \rightarrow \infty$ の極限で、 $D_3 \rightarrow 0$ （状態は全く見分けがつかない）という誤った結果を与えてしまう。
$d\rightarrow \infty$ という極限は、マクロ系の量子論を考えるときに重要になるので、 $D_1$ ではなく $D_3$ を使うべき、という結論に落ち着きました。

*1: $\rho$ と $\sigma$ がエルミート、従って $\rho - \sigma$ がエルミートであることを使いました。