ハーフミラーでの反射・透過 - フタパラ　オルタナティブ

昨日書いた，ハーフミラーで反射・透過するときの位相について，だいたい考えがまとまったので備忘録として書いておきます．（誰が読むんだか・・・．）さっきまであれこれ悩んでいたので，何度もアップロードしたり消したりを繰り返してごめんなさい，今度こそ大丈夫です．　（最終更新：1月18日14時42分）

マッハ・ツェンダー干渉計の動作などを考えることにより，どうやらハーフミラーでの透過光と反射光の位相差が $\pi /2$ または $-\pi /2$ でなければエネルギー保存などに反するようだ

というのがそもそもの発端でした．

これに関して，Ｅ君が

位相差 $\pm \pi /2$ はプラスとマイナスのどちらなのか？

という尤もな疑問で悩んでいるようなので，僕の考えたことをまとめておきます．

まずは，位相差が $\pm \pi /2$ となる理由を古典電磁波のケースで説明します*1．なお，以下の議論は全て古典的な波動についても成立します（媒質の繋ぎ目などでエネルギーが散逸しうるケースを除く）

媒質１から媒質２に垂直に*2電磁波が入射するケースを考える．
入射電場を $\exp \{ i(kx-\omega t) \}$ ，透過電場を $t\exp \{ i(k'x-\omega 't+\theta ) \}$ ，反射電場を $r \exp \{ i(k''x-\omega ''t + \phi ) \}$ とします．すると， $|\vec{H} | = \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} |\vec{E}|$ の関係から，入射磁場の大きさは $\sqrt{\frac{\epsilon _1}{\mu _1}}$ ，反射磁場の大きさは $r\sqrt{\frac{\epsilon _1}{\mu _1}}$ ，透過磁場の大きさは $t\sqrt{\frac{\epsilon _2}{\mu _2}}$ となります．

ここで，エネルギー収支が保存するためには，ポインティング・ベクトル $E\times H$ を閉曲面で積分してゼロにならないといけない：
$r^2 \sqrt{\frac{\epsilon _1}{\mu _1}} + t^2 \sqrt{\frac{\epsilon _2}{\mu _2}} = \sqrt{\frac{\epsilon _1}{\mu _1}}$ ⇔ $r^2+\alpha t^2 =1$ となる．（ $\alpha \equiv \sqrt{\frac{\epsilon _2 \mu _1}{\epsilon _1 \mu _2}}$ ）*3

媒質１，媒質２，媒質１の順に並んでいる空間で，電磁波が界面に垂直に入射します．
媒質１から媒質２に入射する時の反射率*4を $r_1 \exp (i\theta _1)$ ，透過率を $t_1 \exp (i\phi_1)$ とし，媒質２から媒質１に入射する時の反射率を $r_2 \exp (i\theta _2)$ ，透過率を $t_2 \exp (i\phi_2)$ とします．すると，入射電場の複素振幅を１としたとき，反射電場の複素振幅は $\frac{r_1 \exp (i\theta _1) - r_1 r_2 ^2 \exp \{ i (\theta_1 + 2\theta_2 + 2\delta ) \} + t_1 t_2 r_2 \exp \{ i (\phi _1 + \phi _2 + \theta _2 + 2\delta ) \} }{1 - r_2^2 \exp \{ i (2\theta _2 + 2\delta )\} }$ ，透過電場の複素振幅は $\frac{t_1 t_2 \exp \{ i (\phi_1 + \phi_2 + \delta ) \} }{1 - r_2^2 \exp \{ i (2\theta _2 + 2\delta )\} }$ となる．　（ $\delta$ は，媒質２中を進む間の位相変化）

ここで， $r_1,r_2,t_1,t_2$ の値が必要になります．普通の計算によって， $r_1=\frac{ | \sqrt{\epsilon _1/\mu _1} - \sqrt{\epsilon _2/\mu _2} | }{ \sqrt{\epsilon _1/\mu _1} + \sqrt{\epsilon _2/\mu _2} }$ となり（フレネルの式），これは上で定義した $\alpha$ を用いると， $r_1=\frac{|1-\alpha |}{1+\alpha }$ となります．

$r_2$ を求めるには， $\alpha \rightarrow 1/\alpha$ とすればよく，また $t_1 , t_2$ はエネルギー収支の式 $r_1^2+\alpha t_1^2=1$ ， $r_2^2+\frac{1}{\alpha}t_2^2 =1$ から求められる．結局， $r_1=r_2=\frac{|1-\alpha |}{1+\alpha }$ ， $t_1=\frac{2}{1+\alpha}$ ， $t_2=\frac{2\alpha }{1+\alpha}$ となる．

次に，位相のずれ $\theta_1,\theta_2,\phi_1,\phi_2$ の間の関係を求めるため，次の状況を考えます．
媒質１と媒質２の界面を考えて，媒質１から媒質２に向かって複素振幅１の電場を入射させ，同時に媒質２から媒質１に向かって複素振幅 $\exp (i\gamma )$ の電場を入射させます．そのとき，媒質１側の電場の複素振幅は（入射波の影響が及んでいない領域では） $r_1 \exp (i\theta _1)+ t_2 \exp (i\phi _2) \exp (i\gamma )$ となり，媒質２側の電場の複素振幅は $t_1 \exp (i\phi_1)+ r_2 \exp (i\theta_2) \exp (i\gamma )$ となります．磁場の複素振幅は，媒質２のみ $\alpha$ 倍すれば得られます．エネルギー収支の式から， $|\vec{E}\times \vec{H}|$ がもとの値に等しくなければならないので，
$| r_1 \exp (i\theta_1)+ t_2 \exp (i\phi_2) \exp (i\gamma ) | ^2 + \alpha | t_1 \exp (i\phi_1)+ r_2 \exp (i\theta_2) \exp (i\gamma ) |^2 = 2$
⇔ ・・・（ $r_1,r_2,t_1,t_2$ の値を代入して計算）
⇔ $\frac{4\alpha |1-\alpha |}{(1+\alpha )^2} \{ \cos (\phi_2 - \theta_1 + \gamma ) + \cos (\theta _2 - \phi_1 + \gamma ) \} = 1-\alpha$
⇔ $\frac{8\alpha |1-\alpha |}{(1+\alpha )^2} \cos \frac{\theta_1 + \theta_2 - \phi_1 - \phi_2 }{2} \cos \frac {\theta_2 - \theta_1 - \phi_1 + \phi_2 + 2\gamma }{2} = 1-\alpha$

これが任意の $\gamma$ について成立するためには， $\alpha \neq 1$ のとき（i.e. 媒質の境界において） $\cos \frac{\theta_1 + \theta_2 - \phi_1 - \phi_2 }{2} = 0$ ⇔ $\theta_1 + \theta_2 - \phi_1 -\phi_2 = \pi$ である．

以上で得られた式 $\theta_1 + \theta_2 - \phi_1 -\phi_2 = \pi$ ， $r_1=r_2=\frac{|1-\alpha |}{1+\alpha }$ ， $t_1=\frac{2}{1+\alpha}$ ， $t_2=\frac{2\alpha }{1+\alpha}$ を用いると，
(反射)／(透過) ＝ $\frac{-r_1 \exp \{ -i (\theta_2 + \delta) \} + r_1r_2^2 \exp \{ i (\theta_2 + \delta ) \} + t_1 t_2 r_2 \exp \{ i (\theta_2 + \delta ) \} }{t_1 t_2}$ ＝ $i\frac{2r_1}{t_1 t_2}\sin (\theta_2 + \delta )$
となり，めでたく純虚数，すなわちハーフミラーでの反射波と透過波の位相差が $\pm \pi /2$ であることが導けました．　　■

ここでようやく，Ｅ君の疑問に答えます．

位相差 $\pm \pi /2$ はプラスとマイナスのどちらなのか？

　　　　　上の表式：(反射)／(透過) ＝ $i\frac{2r}{t^2}\sin (\theta_2 + \delta )$ 　から分かるように，(反射)／(透過) の虚部の正負は $\delta$ の関数，すなわちハーフミラーの厚さに依存して決まるので，一概に言うことはできない

上のように，反射率を変えていくと，反射波と透過波の位相差（＝ $\pm \pi /2$ ）のみ保ちながら，どちらの位相も少しずつ動いていくという，ちょっとおもしろい結果が得られました．その動き方は簡単な式では書けませんが，透過波の複素振幅が既に求まっているので，数値的に解くことはできるようです．

ハーフミラーについての説明はこのくらいにしておきますが，これを調べているうちに，そもそも2層の境界での反射・透過について意外なことが分かったので，それについて次のエントリーで書くことにします．

*1:古典電磁波の代わりに，量子力学での波動関数を考えたケースは，ここの3ページ目を参照　http://departments.colgate.edu/physics/research/Photon/root/ajpbs02.pdf（PDF注意）

*2:垂直でない場合は，入射角に応じて色々変わってくるし，偏光の向きによるはずですが，その場合にどうなるかは考えてみてください（丸投げ）．

*3:古典波動の場合も，振幅 $A$ の単色波のエネルギーが $\frac{1}{2m}\omega ^2 A^2 + \frac{1}{2m} \dot{A}^2$ と書けることと，伝播速度が $\propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ に比例することから，電磁気の場合と並行に議論ができます．

*4:以下では一貫して，電場の反射率・透過率を扱います．磁場の反射率は電場と同じですが，磁場の透過率には因子 $\alpha$ がかかるため，電場の透過率とは区別する必要があります．